Tempo de vaciado dunha semiesfera.

Tempo de vaciado da semiesfera.

O aprendido no desenvolvemento matemático  da cleosidra serve para facer cálculos como o tempo de vaciado dunha semiesfera. Aprendemos novamente a sumar empregando o cálculo de segundo de bacharelato.

Desenvolvemento da tarefa.

Supongamos que tenemos una semiesfera llena de agua.

Simón. Semiesfera. CC-BY-SA

Nun instante de tempo determinado o nivel de líquido atoparase a unha altura $y$ sobre o eixo de abscisas. Nese instante a velocidade de saída de líquido polo buraco de evacuación é $\sqrt{2gy}$. Se este buraco ten un radio $r$, o volume de líquido evacuado nun tempo moi pequeno $dt$ será: 

$\pi r^{²} \sqrt{2gy}  dt$

Sabemos que se cumpre a seguinte relación, chamando ao radio R = 5cm:

$(R-y)^{²}+x^{²}=R^{²}$ 

de esta ecuación obtemos:

$x=\sqrt{2Ry-y^{²}}$

no transcurso do pequeno tempo $dt$ o nivel de líquido descenderá unha altura moi pequena, $dy$. O volume de líquido que se corresponde con ese descenso do nivel é:

$\pi (2Ry-y^{²}) dy$ 

O volume de líquido  da expresión:  $\pi r^{²} \sqrt{2gy}  dt$   é igual ao volume de líquido que se corresponde co da expresión: $\pi (2Ry-y^{²}) dy$  , por tanto:

 $\pi r² \sqrt{2gy} dt=\pi (2Ry-y²) dy$

Para a nosa altura de líquido $y$, nun cambio de tempo $dt$ o nivel de líquido descende $dy$. A variable $y$, $dt$ e $dy$ relaciónanse a través da ecuación diferencial: $\pi r^{²} \sqrt{2gy} dt=\pi (2Ry-y^{²}) dy$. Buscamos calcular o tempo de evacuación de todo o líquido contido na semiesfera. Na  ecuación  $\pi r^{²} \sqrt{2gy} dt=\pi (2Ry-y^{²}) dy$ despexamos $dt$:

$dt=\frac{\pi (2Ry-y^{²})}{\pi r^{²} \sqrt{2gy}}dy$

Esta ecuación dános o tempo dun pequeno descenso de nivel $dy$, partindo dunha altura da auga sobre o eixo de abscisas de valor $y$. Se tuviesemos unha expresión: $dt=\frac{\pi (2Ry-y^{²})}{\pi r^{²} \sqrt{2gy}}dy$  para cada valor de $y$, partindo dun tempo cero ata o tempo de baleirado, e as sumásemos membro a membro todas, teríamos o tempo de baleirado, que sería a suma de todos os $dt$ que se corresponden con cada altura. Ese tempo sería igual á suma de todos os produtos $\frac{\pi (2 Ry-y^{²})}{\pi r^{²} \sqrt{2 gy}} dy$, un para cada altura. A suma de todos eses pequenos tempos, un para cada altura, que representa cada un o descenso no nivel de líquido $dy$ exprésase así:

$\int_{0}^{T}dt$ 

Os números 0 e T representan o valor inicial e final do tempo. O mesmo valor obtemos a través da outra suma:

 $\int_{0}^{R} \frac{\pi (2Ry-y^{²})}{\pi r^{²} \sqrt{2gy}}dy$

O valor inicial de $y$ é 0, e logo de baleirarse a clepsidra o valor de $y$ será R, na suma consideramos que a $y$ increméntase cara abaixo. As operacións que  apréndense a calcular en segundo de bacharelato. Imos resolvelas:

$\int_{0}^{T} dt=T$ 

$\int_{0}^{R} \frac{\pi (2Ry-y^{²})}{\pi r^{²} \sqrt{2gy}}dy=\frac{1}{r^{²} \sqrt{2g}}\left[\int_{0}^{R} 2Ry^{\frac{1}{2}}dy-\int_{0}^{R} y^{\frac{3}{2}}dy\right]=\frac{14 R^{\frac{5}{2}}}{15 r^{²} \sqrt{2g}}$

O tempo de baleirado da semiesfera é:

$T=\frac{14 R^{\frac{5}{2}}}{15 r^{²} \sqrt{2g}}$