Desenvolvemento matemático

Desenvolvemento matemático

Imos usar as matemáticas para calcular a forma que ten que ter un recipiente que funcione como unha clepsidra. O nivel da auga descenderá a velocidade constante ao ser evacuada polo buraco inferior. A clepsidra será dimensionada para un tempo de baleirado e unha altura, decidindo previamente o diámetro do buraco de evacuación da auga. A lei de Torricelli di que a auga dun deposito aberto escaparase por un pequeno buraco no fondo coa velocidade que adquiriría ao caer libremente desde o nivel da auga ata o orificio. Esta velocidade estúdase en bacharelato e o seu valor é: $v=\sqrt{2gy}$, sendo $g$ a aceleración da gravidade e $y$ a altura desde onde cae.

Vexamos a figura seguinte:

Simón. Perfil. CC-BY-SA

O rectángulo amarelo representa o volume de auga que se perde nun pequeno instante de tempo que chamaremos $dt$. O rectángulo amarelo é realmente a proxección sobre o plano do debuxo dun pequeno cilindro de altura tan pequena que a chamaremos $dy$. Para cada altura $y$, a forma do recipiente é circular e terá un radio $x$. A situación compréndese observando a figura:

Simón. dy. CC-BY-SA

 O volume de auga que se corresponde co cilindro de altura $dy$ e radio $x$ será:

 $\pi x^{²}dy$

ao ser o volume dun cilindro a área da base pola altura. Este volume de auga é o evacuado nun tempo $dt$. Nese mesmo tempo $dt$ ese mesmo volume de auga sairá polo buraco verde de radio $r$ . O principio de Torricelli dinos que a velocidade de evacuación polo buraco será, por estar a unha altura $y$ sobre o mesmo: $\sqrt{2 gy}$. A superficie do buraco verde, se o seu radio é $r$, será: $\pi r^{²}$. Ao multiplicar a superficie pola velocidade, e polo tempo transcorrido obtense o volume de auga desaloxada polo orificio:

 $\pi r^{²} \sqrt{2gy} dt$

É fácil de entender se o escribimos doutra forma. A velocidade pódese expresar en función da distancia percorrida en vertical $dy$ no tempo $dt$ así: $\sqrt{2 gy}=\dfrac{ dy}{ dt}$, por tanto a expresión anterior quedaría así: $\pi r^{²} \dfrac{ dy}{ dt} dt = \pi r^{²} dy $ onde se aprecia como $\pi r^{²} dy$ é o volume do cilindro de auga evacuada polo buraco da base, podemos igualar a expresión $\pi x^{²}dy$ coa expresión $\pi r^{²} \sqrt{2gy} dt$ xa que a auga non pode desaparecer, obtendo:

 $\pi x^{²}dy=\pi r^{²} \sqrt{2gy} dt$

Obtemos así a nosa ecuación diferencial. 

Chámase ecuación diferencial a unha ecuación que relaciona a unha variable dependente e as súas derivadas con respecto a unha ou máis variables independentes. Imos expresala doutra maneira: 

$\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{\pi r^{²} \sqrt{2gy}}{\pi x^{²}}$

A parte esquerda da ecuación é a derivada de $y$ respecto de $t$, $f'(x)=\dfrac{dy}{dy}$, e $x$ é unha función de $y$.Na clepsidra a velocidade de descenso do nivel de auga é constante, como esta velocidade é $\dfrac{dy}{ dt}$, se a velocidade constante é k podemos afirmar:

$k=\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{\pi r^{²} \sqrt{2gy}}{\pi x^{²}} $

O que buscamos é a función $y= f(x)$ que nos permite debuxar a figura  que xera a forma interna da clepsidra. Para iso  elevamos ao cadrado os dous membros da igualdade obtendo: 

$k^{²}=\dfrac{\pi^{2} r^{4} 2 gy}{\pi² x^{4}}$

Desta última ecuación obtemos a nosa función:

 $y=\dfrac{ k^{²} x^{4}}{2 g r^{4}} $

A nosa clepsidra

Un exemplo de como usar a ecuación obtida. Se queremos unha clepsidra de 10 cm de altura e que se vacie en 180 segundos, sendo o buraco de evacuación de 1 mm : $ k=\dfrac{0,10}{180}\dfrac{m}{s}$ e $ r=0,001 m$. Para estas constantes, K e $r$, se lle damos valores a $x$ obtemos a gráfica do perfil da clepsidra. Ao virar a gráfica ao redor do eixo vertical obtemos o sólido de revolución buscado.

Simón. Clepsidra. CC-BY-SA

A ecuación da continuidade. A lei de Torricelli e teorema de Bernoulli.

Vemos agora como as matemáticas anteriores fannos chegar o mesmo punto que si empregásemos  os coñecementos propios da hidrodinámica de segundo de bacharelato.

A ecuación da continuidade

Coa ecuación da continuidade imos obter:  $\pi x^{²}dy=\pi r^{²} \sqrt{2gy} dt$
         Enunciado: Cando un líquido de densidade constante que consideramos incompresible circula por unha condución de sección variable, polo principio de conservación da masa, o caudal de líquido ha de ser constante ao longo de toda a tubaxe.

$Q_{1}= Q_{2}$

Sabendo que o caudal é a sección pola velocidade. 

$S_{1} v _{1}= S_{2} v_{2}$

Aplicado o noso caso 

No noso caso $S_{1}= \pi x^{²}$, $v_{1}=\dfrac{dy}{dt}$ e $S_{2}= \pi r^{²}$, $v_{2}=\sqrt{2 gy}$. Ao aplicar a ecuación da continuidade.

$\pi x² \dfrac {dy}{dt}= \pi r^{²} \sqrt{2 gy}$

de onde se obtén a ecuación buscada pasando $dt$ á beira dereita da igualdade.

$\pi x^{²} dy=\pi r^{²} \sqrt{2 gy} dt$

Demostración lei de Torricelli

A demostración da lei de Torricelli faise usando o teorema de Bernoulli.
          Teorema Bernoulli: Nun fluído non viscoso en movemento estacionario a suma das alturas: xeométrica, piezométrica e dinámica é constante ao longo dunha liña de corrente.

Simón. Bernoulli. CC-BY-SA

 No punto 1 da figura a superficie é $ s_{1}$, a velocidade $v_{1}$, a presión $p_{1}$ e a altura respecto á orixe de alturas $ h_{1}$. A altura geomética é $h_{1}$, a piezométrica é $ \dfrac{ p_{1}}{ dg}$ sendo $d$ a densidade do líquido e $g$ a aceleración da gravidade, a altura dinámica é $\dfrac{v_{1}^{²}}{2 g}$. De forma análoga ocorre no punto 2. Tendo en conta estas consideracións nos dous puntos da liña de corrente, o teorema de Bernoulli permite escribir a seguinte igualdade matemática.

$h_{1}+\dfrac{p_{1}}{dg}+\dfrac{v_{1}^{²}}{2g}=h_{2}+\dfrac{p_{2}}{dg}+\dfrac{v_{2}^{²}}{2g}$

Aplicación a clepsidra 

Empregamos o dibuxo seguinte:

Simón. Perfil. CC-BY-SA

No punto 1 da figura temos unha presión igual á atmosférica; unha velocidade que, como é moi pequena comparada coa de saída polo buraco inferior, pódese desprezar e unha altura xeométrica de valor $y$. No punto 2 a presión segue sendo a atmosférica, a velocidade é $v_{2}$ e a altura xeométrica é cero. Por todo iso do teorema de Bernouilli, substituíndo estes valores obtense:

       $y=\dfrac{v_{2}^{²}}{2 g} $

 e finalmente:

$ v_{2}=\sqrt{2 gy} $

 quedando demostrada a lei de Torricelli.